On perturbations of strongly admissible prior distributions

Consider a parametric statistical model, P(dx|θ), and an improper prior distribution, ν(dθ), that together yield a (proper) formal posterior distribution, Q(dθ|x). The prior is called strongly admissible if the generalized Bayes estimator of every bounded function of θ is admissible under squared error loss. Eaton [M.L. Eaton, A statistical diptych: Admissible inferences-recurrence of symmetric Markov chains, Annals of Statistics 20 (1992) 1147–1179] used the Blyth–Stein Lemma to develop a sufficient condition, call it C, for strong admissibility of ν. Our main result says that, under mild regularity conditions, if ν satisfies C and g(θ) is a bounded, non-negative function, then the perturbed prior distribution g(θ)ν(dθ) also satisfies C and is therefore strongly admissible. Our proof has three basic components: (i) Eaton's [M.L. Eaton, A statistical diptych: Admissible inferences-recurrence of symmetric Markov chains, Annals of Statistics 20 (1992) 1147–1179] result that the condition C is equivalent to the local recurrence of the Markov chain whose transition function is R(dθ|η)=∫Q(dθ|x)P(dx|η); (ii) a new result for general state space Markov chains giving conditions under which local recurrence is equivalent to recurrence; and (iii) a new generalization of Hobert and Robert's [J.P. Hobert, C.P. Robert, Eaton's Markov chain, its conjugate partner and P-admissibility, Annals of Statistics 27 (1999) 361–373] result that says Eaton's Markov chain is recurrent if and only if the chain with transition function is recurrent. One important application of our results involves the construction of strongly admissible prior distributions for estimation problems with restricted parameter spaces.

RésuméSoient un modèle statistique paramétré, P(dx|θ), et une loi a priori impropre, ν(dθ), qui définissent conjointement une loi a posteriori formelle propre, Q(dθ|x). La loi a priori est dite fortement admissible si l'estimateur de Bayes généralisé de toute fonction bornée associé à Q(dθ|x) est admissible sous coût quadratique. Eaton [M.L. Eaton, A statistical diptych: Admissible inferences-recurrence of symmetric Markov chains, Annals of Statistics 20 (1992) 1147–1179] utilise le lemme de Blyth–Stein pour développer une condition suffisante, dénotée C, pour la forte admissibilité de ν. Notre résultat principal est de démontrer que, sous des conditions de régularité faibles, if ν satisfait C et si g(θ) est une fonction bornée et positive, alors la loi a priori perturbée g(θ)ν(dθ) satisfait aussi C et est aussi fortement admissible. Notre preuve a trois composantes essentielles: (i) le résultat de [M.L. Eaton, A statistical diptych: Admissible inferences-recurrence of symmetric Markov chains, Annals of Statistics 20 (1992) 1147–1179] comme quoi la condition C est équivalente à la récurrence de la chaîne de Markov de noyau de transition R(dθ|η)=∫Q(dθ|x)P(dx|η) ; (ii) un résultat nouveau pour les chaînes de Markov sur un espace d'état quelconque donnant des conditions sous lesquelles la récurrence locale est équivalente à la récurrence ; et (iii) une nouvelle généralisation de [J.P. Hobert, C.P. Robert, Eaton's Markov chain, its conjugate partner and P-admissibility, Annals of Statistics 27 (1999) 361–373] qui établit que la chaîne de Markov d'Eaton est récurrente si et seulement si la chaîne de transition est récurrente. Une application majeure de nos résultats est de pouvoir construire des distributions a priori fortement admissibles dans des problèmes d'estimation avec des restrictions sur l'espace des paramètres admissibles.