Logarithmic Sobolev inequalities for harmonic measures on spheres

Dans cet article, on consideré la famille des mesures harmoniques μxn (indexées par x∈Rn avec |x|<1) de la sphère unité Sn−1 de Rn, pour n⩾3. On étudié leurs constantes optimales pour les inégalités de Sobolev logarithmiques et pour les inégalités de Poincaré, notées CLS(μxn) et CP(μxn) respectivement. On montré que la constante de Poincaré ne dépend essentiellement que de la dimension, car 1/(n−1)⩽CP(μxn)⩽2/(n−2). Le comportement de CLS(μxn) fait intervenir de manière plus complexe la position et la dimension.