Do Minkowski averages get progressively more convex?

Pour tout ensemble compact A⊂Rn, définissons ses moyennes de Minkowski parA(k)={a1+⋯+akk:a1,…,ak∈A}=1k(A+⋯+A︸kfois). Nous étudions la monotonie de la convergence de A(k) vers l'enveloppe convexe de A, mesurée par la distance de Hausdorff, le déficit volumique et par l'indice de non-convexité de Schneider. Pour le déficit volumique, nous démontrons que la propriété de monotonie n'est pas satisfaite en général, réfutant ainsi une conjecture de Bobkov, Madiman et Wang. Pour l'index de non-convexité de Schneider, nous montrons une propriété renforcée de monotonie, tandis que, pour la distance de Hausdorff, nous établissons que la suite est décroissante à partir d'un certain rang.