The spectra of harmonic layer potential operators on domains with rotationally symmetric conical points

Nous étudions l'adjoint du potentiel de double couche associé à l'opérateur de Laplace (l'adjoint de l'opérateur de Neumann-Poincaré) défini sur la frontière Γ d'un domaine de R3 contenant des points coniques. Le spectre de cet opérateur est intimement lié à la résolution de problèmes de transmission à travers Γ. En particulier, dans le contexte de la propagation des ondes électromagnétiques, si le domaine délimité par Γ représente une inclusion contenant un matériau de permittivité complexe ϵ, immergé dans un milieu infini de permittivité égale à 1, on peut définir le tenseur de polarisabilité dès que le rapport (ϵ+1)/(ϵ−1) appartient à l'ensemble résolvent de l'opérateur au sens de la norme d'énergie. Nous étudions des surfaces Γ qui possèdent un nombre fini de points coniques à symétrie de rotation. Lorsque l'opérateur est défini sur l'espace d'énergie, nous montrons que son spectre essentiel est un intervalle. Lorsqu'il est défini dans l'espace L2(Γ), i.e. pour des fonctions de carré intégrable sur Γ, nous montrons que son spectre est constitué d'une union de courbes, en dehors desquelles on peut calculer l'indice de Fredholm de l'opérateur, comme l'indice par rapport à ces courbes. Nous donnons des formules explicites, en fonction de l'angle d'ouverture des points coniques. Nous complétons notre étude par des expériences numériques très précises, où, pour deux exemples, nous calculons le spectre de l'opérateur au sens de l'espace d'énergie et les mesures spectrales du tenseur de polarisabilité. Nos résultats suggèrent que les densités des mesures spectrales approchent zéro extrêmement rapidement dans la partie continue du spectre au sens de l'espace d'énergie.