Ricci flows and their integrability in two dimensions

Dans cet article, nous résumons les principaux résultats sur les flots de Ricci en physique et en mathématique. En théorie des champs, dans les modèles sigma bidimensionnels, les flots de Ricci décrivent la renormalisation de la métrique de l'espace cible. En tant que tels ils permettent de comprendre le problème de la condensation de tachyons hors de la couche de masse, et de la sélection du vide en cordes fermées dans le régime gravitationnel faible. Dans le contexte de la géométrie différentielle, ils offrent le moyen de déterminer des métriques canoniques sur les variétés riemanniennes et de faire des progrès dans leur classification (conjecture de géométrisation). Notre attention sera plus particulièrement portée aux déformations géométriques de basse dimension, pour lesquelles on découvre une riche structure algébrique. A deux dimensions, nous montrons que le flot de Ricci est intégrable ; ceci grâce à une algèbre de dimension infinie avec un noyau de Cartan antisymétrique qui incorpore la variable de déformation dans son système de racines. Les déformations de surfaces bidimensionnelles contrôlent également le flot de Ricci sur des variétés à trois dimensions ainsi que leur décomposition en facteurs premiers. L'exérèse des singularités potentielles le long de cycles évanescents est cependant nécessaire. Nous discutons enfin quelques exemples simples parmi lesquels les solitons de Ricci, et dressons un catalogue d'applications à d'autres systèmes physiques. Pour citer cet article : I. Bakas, C. R. Physique 6 (2005).