Condiciones de contorno en modelos de gradiente con desplazamientos suavizados

ResumenLos modelos de gradiente basados en desplazamientos suavizados son una alternativa a los modelos estándares para simular numéricamente el proceso de fallo de materiales. En esta formulación alternativa coexisten los campos de desplazamientos mecánicos u con los desplazamientos suavizados u˜, que se obtienen de solucionar una ecuación de difusión-reacción. Análogamente a los modelos de regularización estándares, prescribir condiciones de contorno en esta formulación alternativa es un problema abierto. Sin embargo, imponer estas condiciones para el campo de desplazamientos (en lugar de la variable de estado interna) presenta ciertas facilidades. El objetivo de este trabajo es estudiar la influencia de dichas condiciones: ni las condiciones de Dirichlet (prescritas en un principio) ni las condiciones de Neumann homogéneas (reminiscencia de los modelos de gradiente estándares) permiten obtener resultados numéricos realistas; mediante las condiciones de contorno de Neumann no homogéneas, en cambio, los resultados son físicamente admisibles. Sin embargo, estas condiciones no aseguran conservación de volumen, que es una propiedad interesante en algunos modelos constitutivos. Por este motivo, se proponen unas nuevas condiciones de contorno (condiciones combinadas) que satisfacen las propiedades necesarias para la regularización: (a) reproducibilidad de orden 1 (u=u˜ si u es un campo lineal), (b) desplazamientos suavizados a lo largo del contorno y (c) conservación de volumen. En este trabajo se han llevado a cabo varios ensayos numéricos bidimensionales con el fin de ilustrar la influencia de las distintas condiciones de contorno.

Gradient-enhanced models based on regularised displacements are an alternative to standard models in order to simulate material failure. In this alternative formulation, mechanical displacements u coexist with smoothed displacements u˜, which are the solution of a diffusion-reaction equation. Analogously to regularised standard models, prescribing boundary conditions in this alternative formulation is an open problem. Nevertheless, imposing these conditions for the displacement field (rather than the internal state variable) seems to be easier to interpret. The goal of this work is to study the influence of these conditions: neither Dirichlet conditions (prescribed at the beginning) nor homogeneous Neumann conditions (reminiscence of standard gradient models) allow to obtain realistic numerical results; on the other hand, by means of non-homogeneous Neumann boundary conditions, these results are physically admissible. However, these conditions do not ensure volume conservation, which is an interesting property in some constitutive models. Hence, new conditions (combined conditions) are proposed. These satisfy the necessary properties for regularisation: (a) reproducibility of order 1 (u=u˜ if u is a linear field), (b) displacement smoothing along the boundary and (c) volume preservation. In this work various two-dimensional numerical tests are carried out in order to illustrate the influence of the different boundary conditions.