Statistical mechanics of the shallow-water system with an a priori potential vorticity distribution

We adapt the statistical mechanics of the shallow-water equations to the case where the flow is forced at small scales. We assume that the statistics of forcing is encoded in a prior potential vorticity (PV) distribution which replaces the specification of the Casimir constraints in the case of freely evolving flows. This determines a generalized entropy functional which is maximized by the coarse-grained PV field at statistical equilibrium. Relaxation equations towards equilibrium are derived which conserve the robust constraints (energy, mass and circulation) and increase the generalized entropy. To cite this article: P.-H. Chavanis, B. Dubrulle, C. R. Physique 7 (2006).

RésuméNous adaptons la mécanique statistique d'un système à eau peu profonde au cas où le flot est forcé à petite échelle. Nous supposons que la statistique du forçage est représentée par une distribution de vorticité potentielle fixée à priori, qui remplace la spécification des contraintes de Casimir dans le cas des flots libres. Ceci détermine une fonctionnelle d'entropie généralisée qui est maximisée par le champ de vorticité potentielle lissé à l'équilibre statistique. Nous dérivons les équations de relaxation vers l'équilibre qui conservant les contraintes robustes (énergie, masse et circulation) et accroissant l'entropie généralisée. Pour citer cet article : P.-H. Chavanis, B. Dubrulle, C. R. Physique 7 (2006).