A Semi-classical calculus of correlations

The method of passive imaging in seismology has been developped recently in order to image the Earth’s crust from recordings of the seismic noise. This method is founded on the computation of correlations of the seismic noise. In this article, we give an explicit formula for this correlation in the “semi-classical” regime. In order to do that, we define the power spectrum of a random field as the ensemble average of its Wigner measure; this allows phase-space computations: the pseudo-differential calculus and the ray theory. In this way, we get a formula for the correlation of the seismic noise in the semi-classical regime with a source noise which can be localized and non-homogeneous. After that, we show how the use of surface guided waves allows us to image the Earth’s crust.

RésuméLa méthode d’imagerie passive en sismologie a été développée récemment en vue d’imager la croûte terrestre à partir d’enregistrements du bruit sismique. Elle repose sur le calcul des fonctions de corrélation de ce bruit. Nous donnons, dans cet article, des formules explicites pour cette corrélation dans le régime « semi-classique ». Pour cela, nous définissons le spectre de puissance d’un champ aléatoire comme l’espérance de sa mesure de Wigner, ce qui permet d’utiliser un calcul dans l’espace des phases: le calcul pseudo-différentiel et la théorie des « rays ». Nous obtenons ainsi une formule pour la corrélation du bruit sismique dans le régime « semi-classique », avec une source de bruit qui peut être localisée et non homogène. Nous montrons ensuite comment l’utilisation des ondes guidées de surface permet d’imager la croûte terrestre.