Sous-groupes de GL2GL2 et arbres

RésuméDans cet article, nous caractérisons tout d'abord les sous-ensembles de l'arbre de Bruhat–Tits de PGL2(K)PGL2(K), K   un corps valué complet, qui sont les ensembles de points fixes C(G)C(G) d'un sous-groupe G   de GL2(K)GL2(K). Quand le sous-groupe G   est irréductible, ce sont exactement les bandes bornées de l'arbre. Nous étudions ensuite la forme de la bande C(G)C(G), donnant des encadrements de son diamètre et de son épaisseur en fonction d'invariants algébriques de G. Nous donnons deux applications à la théorie des représentations, l'une concernant une généralisation du lemme de Ribet sur les extensions, l'autre la convergence en trace d'une suite de représentations.

In this paper, we first characterize the subsets of the Bruhat–Tits tree of PGL2(K)PGL2(K), K   a complete valued field, that are the sets of fixed points C(G)C(G) of a subgroup G   of GL2(K)GL2(K). When G   is irreducible, the C(G)C(G) are the “strips” in the tree. We then evaluate the form of the strip C(G)C(G), in particular in terms of algebraic invariants of the group G. We give two applications to representation theory, one about a new generalization of Ribet's lemma on extensions, the other about the trace-convergence of a sequence of representations.