Orbites d'Hurwitz des factorisations primitives d'un élément de Coxeter

RésuméOn considère l'action d'Hurwitz du groupe de tresses usuel sur les factorisations d'un élément de Coxeter c d'un groupe de réflexions complexe bien engendré W. Il est bien connu que l'action d'Hurwitz est transitive sur l'ensemble des décompositions réduites de c en réflexions. On démontre ici une propriété similaire pour les factorisations primitives de c, i.e. celles dont tous les facteurs sauf un sont des réflexions. Cette étude est motivée par la recherche d'une explication géométrique de la formule de Chapoton sur le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis des partitions non croisées . La démonstration présentée repose sur les propriétés du revêtement de Lyashko–Looijenga et sur la géométrie du discriminant de W.

We study the Hurwitz action of the classical braid group on factorisations of a Coxeter element c in a well-generated complex reflection group W. It is well known that the Hurwitz action is transitive on the set of reduced decompositions of c in reflections. Our main result is a similar property for the primitive factorisations of c, i.e. factorisations with only one factor which is not a reflection. The motivation is the search for a geometric proof of Chapoton's formula for the number of chains of given length in the non-crossing partitions lattice . Our proof uses the properties of the Lyashko–Looijenga covering and the geometry of the discriminant of W.