Induction automorphe pour GL(n,C)

RésuméPour F=R ou C, les classes d'isomorphisme de (g,K)-modules irréductibles pour GL(n,F) sont paramétrées par des représentations de dimension n du groupe de Weil WF de F. Comme le groupe de Weil de C est d'indice 2 dans celui de R, on peut induire à WR une représentation de WC. Cela donne une opération d' « induction automorphe » qui à un (g,K)-module irréducible τ pour GL(n,C) associe un (g,K)-module irréductible π=τC/R pour GL(2n,R). Dans cet article, nous prouvons que si τ est unitaire et générique, alors π est déterminé par τ via une identité de caractères entièrement analogue à l'identité qui intervient dans la théorie de l'induction automorphe pour les corps p-adiques, due à R. Herb et l'auteur. Cela complète ainsi la théorie de l'induction automorphe pour les représentations locales et globales de GL(n) sur un corps de nombres.

For F=R or C, isomorphism classes of irreducible (g,K)-modules for GL(n,F) are parametrized by n-dimensional representations of the Weil group WF of F. We can induce to WR a representation of WC, which has index 2 in WR. That gives a process of “automorphic induction” which to an irreducible (g,K)-module τ for GL(n,C) associates an irreducible (g,K)-module π=τC/R for GL(2n,R). In the present paper we show that if τ is unitary and generic then π is determined by τ, up to isomorphism, via a character identity entirely analogous to the character identity occurring in the automorphic induction process for p-adic fields. This completes the theory of automorphic induction for local and global representations of GL(n) over number fields.