Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le groupe de Heisenberg

En utilisant l'inégalité de Poincaré et la formule de représentation, on montre que sur le groupe de Heisenberg de dimension réelle 3, H1H1, il existe une constante C>0C>0 telle que :|∇etΔf|(g)⩽CetΔ(|∇f|)(g),∀g∈H1,t>0,f∈Co∞(H1).Ce résultat répond par l'affirmation à la question ouverte de [B.K. Driver, T. Melcher, Hypoelliptic heat kernel inequalities on the Heisenberg group, J. Funct. Anal. 221 (2005) 340–365]. Aussi, le résultat principal de [B.K. Driver, T. Melcher, Hypoelliptic heat kernel inequalities on the Heisenberg group, J. Funct. Anal. 221 (2005) 340–365] peut être considéré comme une conséquence immédiate de l'inégalité précédente.