Almost periodic linear differential equations with non-separated solutions

A celebrated result by Favard states that, for certain almost periodic linear differential systems, the existence of a bounded solution implies the existence of an almost periodic solution. A key assumption in this result is the separation among bounded solutions. Here we prove a theorem of anti-Favard type: if there are bounded solutions which are non-separated (in a strong sense) sometimes almost periodic solutions do not exist. Strongly non-separated solutions appear when the associated homogeneous system has homoclinic solutions. This point of view unifies two fascinating examples by Zhikov–Levitan and Johnson for the scalar case. Our construction uses the ideas of Zhikov–Levitan together with the theory of characters in topological groups.

RésuméUn résultat célébré de Favard affirme que, pour certains systèmes différentiels linéaires presque périodiques, l'existence d'une solution bornée implique l'existence d'une solution presque périodique. Une supposition essentielle dans ce résultat est la séparation des solutions bornées. Ici nous prouvons un théorème de type anti-Favard : s'il y a des solutions bornées qui sont non-séparées (dans un sens fort), parfois il n'existent pas des solutions presque périodiques. Des solutions fortement non-séparées apparaissent quand le système homogène associé a des solutions homoclines. Ce point de vue unifie deux exemples fascinants de Zhikov–Levitan et Johnson pour le cas scalaire. Notre construction utilise des idées de Zhikov–Levitan ainsi que la théorie de caractères dans groupes topologiques.