Capacité et inégalité de Faber–Krahn dans Rn

In this paper, we define a new capacity which allows us to control the behaviour of the Dirichlet spectrum of a compact Riemannian manifold with boundary, with “small” subsets (which may intersect the boundary) removed. This result generalises a classical result of Rauch and Taylor (“the crushed ice theorem”). In the second part, we show that the Dirichlet spectrum of a sequence of bounded Euclidean domains converges to the spectrum of a ball with the same volume, if the first eigenvalue of these domains converges to the first eigenvalue of a ball.

RésuméDans cet article, nous obtenons un contrôle de la variation du spectre du laplacien avec condition de Dirichlet lorsque l’on modifie une variété compacte à bord par excision d’un sous-ensemble qui intersecte éventuellement le bord. Ce résultat généralise un résultat classique de Rauch et Taylor (théorème de la glace pilée). Dans une seconde partie, nous établissons la convergence du spectre de Dirichlet d’une famille de domaines euclidiens bornés vers le spectre d’une boule de même volume, lorsque la première valeur propre de la famille converge vers celle de la boule.