On double-covering stationary points of a constrained Dirichlet energy

The double-covering map udc:R2→R2udc:R2→R2 is given byudc(x)=12|x|(x22−x122x1x2) in cartesian coordinates. This paper examines the conjecture that udcudc is the global minimizer of the Dirichlet energy I(u)=∫B|∇u|2dx among all W1,2W1,2 mappings u of the unit ball B⊂R2B⊂R2 satisfying (i) u=udcu=udc on ∂B  , and (ii) det∇u=1 almost everywhere. Let the class of such admissible maps be AA. The chief innovation is to express I(u)I(u) in terms of an auxiliary functional G(u−udc)G(u−udc), using which we show that udcudc is a stationary point of I   in AA, and that udcudc is a global minimizer of the Dirichlet energy among members of AA whose Fourier decomposition can be controlled in a way made precise in the paper. By constructing variations about udcudc in AA using ODE techniques, we also show that udcudc is a local minimizer among variations whose tangent ψ   to AA at udcudc obeys G(ψo)>0G(ψo)>0, where ψoψo is the odd part of ψ  . In addition, a Lagrange multiplier corresponding to the constraint det∇u=1 is identified by an analysis which exploits the well-known Fefferman–Stein duality.

RésuméLe double-revêtement udc:R2→R2udc:R2→R2 est donné parudc(x)=12|x|(x22−x122x1x2) en coordonnées cartésiennes. Cet article examine la conjecture selon laquelle udcudc est le minimiseur global de l'énergie de Dirichlet I(u)=∫B|∇u|2dx pour les fonctions satisfaisant (i) u∈W1,2(B)u∈W1,2(B), où B   est la boule unité de R2R2, (ii) u=udcu=udc sur ∂B  , et (iii) det∇u=1 presque partout. Soit AA la classe admissible de telles fonctions. La principale innovation est ici d'exprimer I(u)I(u) sous forme d'une fonction auxiliaire G(u−udc)G(u−udc), avec laquelle nous montrons que udcudc est un point stationnaire de I   en AA, et que udcudc est un minimiseur global de l'énergie de Dirichlet parmi les membres de AA dont la décomposition de Fourier peut être contrôlée d'une manière détaillée dans l'article. En construisant des variations autour de udcudc en AA par des techniques variationnelles, nous montrons également que udcudc est un minimiseur local parmi les variations dont la tangente ψ   de udcudc vers AA obéissent à G(ψo)>0G(ψo)>0, où ψoψo est la partie impaire de ψ  . Additionnellement, un multiplicateur de Lagrange correspondant à la contrainte det∇u=1 est identifié par une analyse qui exploite la dualité de Fefferman–Stein.