On the inverse limit stability of endomorphisms

We present several results suggesting that the concept of C1-inverse (limit structural) stability is free of singularity theory. An example of a robustly transitive, C1-inverse stable endomorphism with a persistent critical set is given. We show that every C1-inverse stable, axiom A endomorphism satisfies a certain strong transversality condition (T). We prove that every attractor–repeller endomorphism satisfying axiom A and condition (T) is C1-inverse stable. The latter is applied to Hénon maps, rational functions and others. This leads us to conjecture that C1-inverse stable endomorphisms are exactly those which satisfy axiom A and condition (T).

RésuméNous présentons différents résultats suggérant que le concept de C1-stabilité (structurelle de la limite inverse) est indépendant de la théorie des singularités. Nous décrivons un exemple dʼun endomorphisme robustement transitif et C1-stable ayant un ensemble critique persistant. Nous montrons que tout endomorphisme axiome A et C1-stable vérifie nécessairement une certaine condition de transversalité forte (T). Nous démontrons que tout endomorphisme attracteur–répulseur vérifiant la condition (T) est C1-stable. Ce dernier résultat est appliqué, entre autres, aux applications de type Hénon et aux fractions rationnelles. Cela nous amène à conjecturer que les endomorphismes C1-stables sont exactement ceux qui vérifient lʼaxiome A et la condition (T).