Local well-posedness and blow-up in the energy space for a class of L2L2 critical dispersion generalized Benjamin–Ono equations

We consider a family of dispersion generalized Benjamin–Ono equations (dgBO)ut−∂x|D|αu+|u|2α∂xu=0,(t,x)∈R×R, where |D|αuˆ=|ξ|αuˆ and 1⩽α⩽21⩽α⩽2. These equations are critical with respect to the L2L2 norm and global existence and interpolate between the modified BO equation (α=1α=1) and the critical gKdV equation (α=2α=2).First, we prove local well-posedness in the energy space for 1<α<21<α<2, extending results in Kenig et al. (1991, 1993) [13] and [14] for the generalized KdV equations.Second, we address the blow-up problem in the spirit of Martel and Merle (2000) [19] and Merle (2001) [22] concerning the critical gKdV equation, by studying rigidity properties of the dgBO flow in a neighborhood of the solitons. We prove that for α   close to 2, solutions of negative energy close to solitons blow up in finite or infinite time in the energy space Hα2.The blow-up proof requires both extensions to dgBO of monotonicity results for local L2L2 norms by pseudo-differential operator tools and perturbative arguments close to the gKdV case to obtain structural properties of the linearized flow around solitons.

RésuméNous considérons une famille dʼéquations de Benjamin–Ono à dispersion généralisée (dgBO)ut−∂x|D|αu+|u|2α∂xu=0,(t,x)∈R×R, où |D|αuˆ=|ξ|αuˆ et 1⩽α⩽21⩽α⩽2. Ces équations sont critiques par rapport à la norme L2L2 et à lʼexistence globale et peuvent être vues comme des interpolations entre lʼéquation de Benjamin–Ono généralisée critique (α=1α=1) et lʼéquation de Korteweg–de Vries généralisée critique (α=2α=2).Dʼabord, nous montrons le caractère bien posé de ces équations dans lʼespace dʼénergie pour 1<α<21<α<2, étendant les résultats de Kenig et al. (1991, 1993) [13] and [14] pour les équations de Korteweg–de Vries généralisées.Ensuite, nous étudions le phénomène dʼexplosion dans lʼesprit de Martel et Merle (2000) [19] et Merle (2001) [22] concernant lʼéquation de gKdV critique, en étudiant les propriétés de rigidité du flot de dgBO dans un voisinage des solitons. Nous montrons que pour α   proche de 2, les solutions dʼénergie négative proches des solitons explosent en temps fini ou infini dans lʼespace dʼénergie Hα2.La preuve de ce résultat dʼexplosion est basée dʼune part sur lʼadaptation à dgBO de résultats de monotonie de normes L2L2 locales par des méthodes dʼopérateurs pseudo-differentiels et dʼautre part sur des arguments de perturbation pour obtenir des propriétés structurelles du flot linéarisé autour des solitons lorsque lʼéquation est proche de gKdV.