Cohomologically rigid vector fields: the Katok conjecture in dimension 3

A smooth vector field X on a closed orientable d-manifold M is said to be cohomologically rigid   when given any ξ∈C∞(M,R)ξ∈C∞(M,R), there exist u∈C∞(M,R)u∈C∞(M,R) and c∈Rc∈R satisfyingLXu=ξ−c,LXu=ξ−c, where LXLX is the Lie derivative in the X direction. In 1984, Anatole Katok conjectured that every cohomologically rigid vector field should be smoothly conjugated to a Diophantine vector field on the d  -torus TdTd. In this work the validity of the Katok conjecture for 3-manifolds is proved.

RésuméUn champ de vecteurs X sur une variété M compacte orientable de dimension d est dit cohomologiquement rigide   si pour toute fonction ξ∈C∞(M,R)ξ∈C∞(M,R) il existe u∈C∞(M,R)u∈C∞(M,R) et c∈Rc∈R tels queLXu=ξ−c,LXu=ξ−c, où LXLX désigne la dérivée de Lie dans la direction de X  . En 1984, Anatole Katok a conjecturé que tout champ de vecteurs cohomologiquement rigide devrait être conjugué par un difféomorphisme lisse à un champ linéaire diophantien sur le tore TdTd. Dans ce travail nous démontrons la conjecture de Katok pour les variétés de dimension trois.