Singly periodic solutions of a semilinear equation

We consider the solutions of the equation −ε2Δu+u−|u|p−1u=0 in S1×R, where ε and p are positive real numbers, p>1. We prove that the set of the positive bounded solutions even in x1 and x2, decreasing for x1∈]−π,0[ and tending to 0 as x2 tends to +∞ is the first branch of solutions constructed by bifurcation from the ground-state solution . We prove that there exists a positive real number ε⋆ such that for every ε∈]0,ε⋆] there exists a finite number of solutions verifying the above properties and none such solution for ε>ε⋆. The proves make use of compactness results and of the Leray–Schauder degree theory.

RésuméNous étudions l'équation −ε2Δu+u−|u|p−1u=0 dans S1×R, où ε et p sont des nombres réels strictement positifs, p>1. Nous identifions l'ensemble des solutions (ε,u) où u est une fonction positive, paire en x1 et x2, décroissante en x1 dans [−π,0] et tendant vers 0 quand x2 tend vers +∞, comme la première branche de solutions issue d'une bifurcation à partir de l'état fondamental . Nous prouvons qu'il existe un réel ε⋆ tel que pour tout ε∈]0,ε⋆] il y a un nombre fini de solutions vérifiant les propriétés énoncées ci-dessus, et aucune telle solution pour ε>ε⋆. Les preuves utilisent des résultats de compacité et la théorie du degré de Leray–Schauder.