Decay of geometry for Fibonacci critical covering maps of the circle

We study the growth of Dfn(f(c)) when f is a Fibonacci critical covering map of the circle with negative Schwarzian derivative, degree d⩾2 and critical point c of order ℓ>1. As an application we prove that f exhibits exponential decay of geometry if and only if ℓ⩽2, and in this case it has an absolutely continuous invariant probability measure, although not satisfying the so-called Collet–Eckmann condition.

RésuméNous étudions la croissance de Dfn(f(c)) lorsque f est un revêtement critique de Fibonacci du cercle avec dérivée Schwarzienne négative, degré d⩾2 et point critique c d'ordre ℓ>1. Comme application nous démontrons que f exhibe une décroissance exponentielle de géométrie si et seulement si ℓ⩽2, et dans ce cas f a une mesure de probabilité invariante absolument continue, sans satisfaire la condition de Collet–Eckmann.