The uniform Korn–Poincaré inequality in thin domains

We study the Korn–Poincaré inequality:‖u‖W1,2(Sh)⩽Ch‖D(u)‖L2(Sh),‖u‖W1,2(Sh)⩽Ch‖D(u)‖L2(Sh), in domains ShSh that are shells of small thickness of order h, around an arbitrary compact, boundaryless and smooth hypersurface S   in RnRn. By D(u)D(u) we denote the symmetric part of the gradient ∇u, and we assume the tangential boundary conditions:u⋅n→h=0on ∂Sh. We prove that ChCh remains uniformly bounded as h→0h→0, for vector fields u   in any family of cones (with angle<π/2angle<π/2, uniform in h) around the orthogonal complement of extensions of Killing vector fields on S.We show that this condition is optimal, as in turn every Killing field admits a family of extensions uhuh, for which the ratio ‖uh‖W1,2(Sh)/‖D(uh)‖L2(Sh)‖uh‖W1,2(Sh)/‖D(uh)‖L2(Sh) blows up as h→0h→0, even if the domains ShSh are not rotationally symmetric.

RésuméOn étudie lʼinégalité de Korn–Poincaré :‖u‖W1,2(Sh)⩽Ch‖D(u)‖L2(Sh),‖u‖W1,2(Sh)⩽Ch‖D(u)‖L2(Sh), dans les domaines ShSh de type des coques dʼépaisseurs dʼordre h autour dʼune hypersurface compacte sans bord et regulière S   de RnRn. Par D(u)D(u), on réfère à la partie symétrique du gradient ∇u et on suppose la condition au bord :u⋅n→h=0on ∂Sh. On démontre que ChCh reste uniformément borné car h→0h→0, pour tout champ de vecteurs dans une famille de cônes donnée (faisant un angle<π/2angle<π/2, uniforme en h) autour du complément orthogonal des extensions de champs de vecteurs de Killing sur S.On montre que cette condition est optimale comme tout champ de Killling u sur S   admet une famille dʼextensions uhuh sur ShSh pour lesquelles le rapport ‖uh‖W1,2(Sh)/‖D(uh)‖L2(Sh)‖uh‖W1,2(Sh)/‖D(uh)‖L2(Sh) tend à lʼinfini comme h→0h→0, même si les ShSh ne possèdent pas de symmetrie axiale.