Nonlinear diffusion with a bounded stationary level surface

We consider nonlinear diffusion of some substance in a container (not necessarily bounded) with bounded boundary of class C2. Suppose that, initially, the container is empty and, at all times, the substance at its boundary is kept at density 1. We show that, if the container contains a proper C2-subdomain on whose boundary the substance has constant density at each given time, then the boundary of the container must be a sphere. We also consider nonlinear diffusion in the whole RN of some substance whose density is initially a characteristic function of the complement of a domain with bounded C2 boundary, and obtain similar results. These results are also extended to the heat flow in the sphere SN and the hyperbolic space HN.

RésuméNous considérons la diffusion non linéaire d'une substance dans un récipient (pas nécessairement borné) avec frontière bornée de classe C2. Supposons qu'initialement, le récipient soit vide et, à sa frontière, la densité de la substance soit gardée à tout moment égale à 1. Nous montrons que, si le récipient contient un sous-domaine C2 propre à la frontière duquel la substance est gardée à tout moment à densité constante, alors la frontière du récipient doit être une sphère. Nous considérons aussi la diffusion non linéaire dans tout RN d'une substance dont la densité est initialement une fonction caractéristique du complémentaire d'un domaine ayant la frontière bornée et C2, et nous obtenons des résultats semblables. Ces résultats sont aussi généralisés au cas du flux de chaleur dans la sphère SN et l'espace hyperbolique HN.