Extremal functions for the anisotropic Sobolev inequalities

The existence of multiple nonnegative solutions to the anisotropic critical problem−∑i=1N∂∂xi(|∂u∂xi|pi−2∂u∂xi)=|u|p∗−2uinRN is proved in suitable anisotropic Sobolev spaces. The solutions correspond to extremal functions of a certain best Sobolev constant. The main tool in our study is an adaptation of the well-known concentration-compactness lemma of P.-L. Lions to anisotropic operators. Furthermore, we show that the set of nontrival solutions SS is included in L∞(RN)L∞(RN) and is located outside of a ball of radius τ>0τ>0 in Lp∗(RN)Lp∗(RN).

RésuméNous montrons l'existence d'une infinité de solutions positives pour le problème anisotropique avec exposant critique. La méthode consiste à regarder la meilleure constante d'une inégalité du type Poincaré–Sobolev et à adapter le fameux principe de concentration-compacité de P. L. Lions. De plus, on montre que l'ensemble des solutions SS est contenu dans L∞(RN)L∞(RN) et est localisé en dehors d'une boule de rayon τ>0τ>0 dans Lp∗(RN)Lp∗(RN).