Solitary waves for some nonlinear Schrödinger systems

Dans cet article, on étudie l'existence des solutions positives radialement symétriques dans Hrad1(RN)×Hrad1(RN) du système elliptique−Δu+u−(αu2+βv2)u=0,−Δv+ω2v−(βu2+γv2)v=0, N=1,2,3 où α et γ sont des constantes positives (il est permis que β soit négatif). Ce système a des solutions triviales de la forme (ϕ,0) et (0,ψ) où ϕ et ψ sont des solutions non triviales des équations scalaires. L'existence de solutions non triviales pour certaines valeurs des paramètres α,β,γ,ω a été étudiée récemment par plusieurs auteurs. Pour N=2,3 peut-être le résultat le plus général d'existence a été prouvé dans [A. Ambrosetti, E. Colorado, Bound and ground states of coupled nonlinear Schrödinger equations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 453-458] sous des conditions qui sont équivalentes aux nôtres. Motivé par quelques calculs numériques on retourne à ce problème et en utilisant notre approche on donne une description plus détaillée des régions de l'espace des paramètres pour lesquels l'existence peut être prouvée. En particulier, en se basant sur des résultats numériques, on démontre que la forme de la région de l'espace des paramètres pour lesquels l'existence de solutions peut être prouvée, change drastiquement quand on passe des dimensions N=1,2 à la dimension N=3. Notre approche diffère des précédentes. Elle repose fortement sur la théorie spectrale des opérateurs linéaires. De plus, on considère aussi les cas N=1 qui nécessite un traitement plus détaillé dût au manque de compacité pour les fonctions paires. Ce cas n'a pas été traité avant.