Existence of Lipschitz minimizers for the three-well problem in solid-solid phase transitions

The three-well problem consists in looking for minimizers u:Ω⊂R3→R3 of a functional I(u)=∫ΩW(∇u)dx, where the elastic energy W models the tetragonal phase of a phase-transforming material. In particular, W   attains its minimum on K=⋃i=13SO(3)Ui, with UiUi being the three distinct diagonal matrices with eigenvalues (λ,λ,λ˜), λ,λ˜>0 and λ≠λ˜. We show that, for boundary values F   in a suitable relatively open subset of M3×3∩{F:detF=detU1}, the differential inclusion{∇u∈Kin Ω,u(x)=Fxon ∂Ω has Lipschitz solutions.

RésuméLe problème de type triple puits consiste en la recherche de minimizers u:Ω⊂R3→R3 d'une fonctionnelle I(u)=∫ΩW(∇u)dx, où l'énergie élastique W modèle la phase tétragonale d'un matériel à mémoire de forme. En particulier, W   atteint son minimum sur K=⋃i=13SO(3)Ui, avec UiUi les trois matrices diagonales distinctes avec les valeurs propres (λ,λ,λ˜), λ,λ˜>0 et λ≠λ˜. Nous montrons que, pour des conditions au bord F   dans un sous-ensemble bien choisi relativement ouvert de M3×3∩{F:detF=detU1}, l'inclusion différentiele{∇u∈Kin Ω,u(x)=Fxon ∂Ω a des solutions u∈W1,∞(Ω;R3)u∈W1,∞(Ω;R3).