An inverse problem in the economic theory of demand

Given an exchange economy consisting of k consumers, there is an associated collective demand function, which is the sum of the individual demand functions. It maps the price system p to a goods bundle x(p). Conversely, given a map p→x(p), it is natural to ask whether it is the collective demand function of a market economy. We answer that question in the case when k is less than the number of goods n. The proof relies on finding convex solutions to a strongly nonlinear system of partial differential equations.

RésuméLa fonction de demande agrégée d'une société composée de k individus résulte de la sommation de k fonctions de demandes individuelles. Elle fait correspondre à un système de prix p, un vecteur de biens x(p). Inversement, étant donnée une fonction p→x(p), est-elle une fonction de demande agrégée ? Nous apporterons une réponse à cette question dans le cas où il y a moins de consommateurs que de biens.