Towards a description of the double ramification hierarchy for Witten's r-spin class

The double ramification hierarchy is a new integrable hierarchy of Hamiltonian PDEs introduced recently by the first author. It is associated to an arbitrary given cohomological field theory. In this paper we study the double ramification hierarchy associated to the cohomological field theory formed by Witten's r  -spin classes. Using the formula for the product of the top Chern class of the Hodge bundle with Witten's class, found by the second author, we present an effective method for a computation of the double ramification hierarchy. We do explicit computations for r=3,4,5r=3,4,5 and prove that the double ramification hierarchy is Miura equivalent to the corresponding Dubrovin–Zhang hierarchy. As an application, this result together with a recent work of the first author with Paolo Rossi gives a quantization of the r  -th Gelfand–Dickey hierarchy for r=3,4,5r=3,4,5.

RésuméLa hiérarchie de ramification double est une nouvelle hiérarchie intégrable Hamiltonienne d'équations aux dérivées partielles. Elle a été introduite par le premier auteur et est associée à n'importe quelle théorie cohomologique des champs. Dans cet article, on étudie dans le cas des théories cohomologiques des champs produites par les classes r  -spin de Witten. Grâce à une formule du second auteur calculant le produit de la classe de Witten avec la classe d'Euler du fibré de Hodge, on obtient une méthode effective pour le calcul de ces hiérarchies. En appliquant cette méthode aux petites valeurs r=3,4,5r=3,4,5, on montre que cette hiérarchie de ramification double est équivalente au sens de Miura à la hiérarchie de Dubrovin–Zhang correspondante. En conséquence, cela permet une quantification de la r  -ième hiérarchie de Gelfand–Dickey pour r=3,4,5r=3,4,5.