Existence and blowup behavior of global strong solutions to the two-dimensional barotrpic compressible Navier–Stokes system with vacuum and large initial data

For periodic initial data with density allowed to vanish initially, we establish the global existence of strong and weak solutions to the two-dimensional barotropic compressible Navier–Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the shear viscosity is a positive constant and the bulk one is λ=ρβλ=ρβ with β>4/3β>4/3. These results generalize and improve the previous ones due to Vaigant–Kazhikhov [Sib. Math. J. 36 (1995) 1283–1316] who required β>3β>3. Moreover, we also prove that the densities for both the strong and weak solutions remain bounded from above independently of time. As a consequence, it is shown that both the strong and weak solutions converge to the equilibrium state as time tends to infinity.

RésuméPour les données initiales périodiques avec une densité qui peut s'annuler à l'instant initial, on établit l'existence globale de solutions fortes et faibles dans le cas de deux dimensions d'équations de Navier–Stokes compressibles sans restriction sur la taille des données initiales pourvu que la viscosité de cisaillement soit une constante positive où β>4/3β>4/3. Ces résultats se généralisent et améliorent les résultats précédents obtenus par Vaigant–Kazhikhov [Sib. Math. J. 36 (1995) 1283–1316] qui exigaient β>3β>3. En outre, on démontre que les densités pour les deux solutions fortes et faibles, restent indépendantes et bornées supérieurement. Finalement, il est démontré aussi que les deux solutions fortes et faibles convergent vers les états d'équilibre lorsque le temps tend vers l'infini.