On W1,q(⋅)-estimates for elliptic equations of p(x)-Laplacian type

We study nonlinear elliptic equations of p(x)p(x)-Laplacian type on nonsmooth domains to obtain an optimal Calderón–Zygmund type estimate in the variable exponent spaces. We find a correct regularity assumption on p(⋅)p(⋅), a minimal regularity requirement on the associated nonlinearity and a suitable flatness condition on the boundary of the underlying domain for such W1,q(⋅)W1,q(⋅) regularity theory to hold true for every variable exponent q(⋅)q(⋅) strictly bigger than p(⋅)p(⋅). Our result is a complete extension of the existing regularity results in the classical Lebesgue and Sobolev spaces from [14] and [25] to the one in the variable exponent space.

RésuméOn étudie des équations elliptiques nonlinéaires de type p  -laplacien dans des domaines non lisses et on obtient des estimations optimales de type Calderón–Zygmund dans les espaces à exposant variable. On trouve une condition correcte de regularité sur p(⋅)p(⋅), une contrainte minimale sur la régularité associée à la non-linéarité et une condition convenable de planéité sur le bord du domaine pour qu'une telle W1,q(⋅)W1,q(⋅) théorie de régularité puisse être vraie pour tout exposant variable q(⋅)q(⋅) strictement supérieur à p(⋅)p(⋅). Ce résultat est une extension complète des résultats de régularité existants dans les espaces de Lebesgue et de Sobolev de [14] and [25] au cas de l'espace à exposant variable.