The Monge problem with vanishing gradient penalization: Vortices and asymptotic profile

We investigate the approximation of the Monge problem (minimizing ∫Ω|T(x)−x|dμ(x) among the vector-valued maps T   with prescribed image measure T#μT#μ) by adding a vanishing Dirichlet energy, namely ε∫Ω|DT|2ε∫Ω|DT|2. We study the Γ-convergence as ε→0ε→0, proving a density result for Sobolev (or Lipschitz) transport maps in the class of transport plans. In a certain two-dimensional framework that we analyze in details, when no optimal plan is induced by an H1H1 map, we study the selected limit map, which is a new “special” Monge transport, possibly different from the monotone one, and we find the precise asymptotics of the optimal cost depending on ε  , where the leading term is of order ε|log⁡ε|ε|log⁡ε|.

RésuméOn considère l'approximation du problème de Monge (minimiser l'énergie ∫Ω|T(x)−x|dμ(x) parmi les fonctions vectorielles T   à mesure image prescrite T#μT#μ) par l'ajout de l'énergie de Dirichlet multipliée par un petit paramètre, ε∫|DT|2ε∫|DT|2. On étudie la Γ-convergence lorsque ε→0ε→0, en montrant un résultat de densité des applications de Sobolev (ou Lipschitz) dans la classe des plans de transport. Ensuite, on analyse en détail un exemple bidimensionnel où aucun plan optimal n'est induit par une application H1H1 ; on identifie l'application sélectionnée à la limite ε→0ε→0, qui est un nouveau transport “spécial” de Monge, en général différent du transport monotone sur chaque rayon, et on identifie précisément le développement asymptotique du coût minimal en fonction de ε  , où le terme dominant est d'ordre ε|log⁡ε|ε|log⁡ε|.