Families of Calabi–Yau hypersurfaces in QQ-Fano toric varieties

We provide a sufficient condition for a general hypersurface in a QQ-Fano toric variety to be a Calabi–Yau variety in terms of its Newton polytope. Moreover, we define a generalization of the Berglund–Hübsch–Krawitz construction in case the ambient is a QQ-Fano toric variety with torsion free class group and the defining polynomial is not necessarily of Delsarte type. Finally, we introduce a duality between families of Calabi–Yau hypersurfaces which includes both Batyrev and Berglund–Hübsch–Krawitz mirror constructions. This is given in terms of a polar duality between pairs of polytopes Δ1⊆Δ2Δ1⊆Δ2, where Δ1Δ1 and Δ2⁎ are canonical.

RésuméOn donne une condition suffisante pour qu'une hypersurface générale d'une variété torique QQ-Fano soit une variété de Calabi–Yau en termes de son polytope de Newton. On définit de plus une généralisation de la construction de Berglund–Hübsch–Krawitz au cas où la variété torique ambiante est QQ-Fano à groupe des classes sans torsion et où l'équation polynomiale n'est pas de Delsarte. Finalement on introduit une dualité entre familles d'hypersurfaces de Calabi–Yau qui généralise à la fois les constructions miroir de Batyrev et de Berglund–Hübsch–Krawitz. Celle-ci est définie en termes de polarité entre paires de polytopes Δ1⊆Δ2Δ1⊆Δ2, où Δ1Δ1 et Δ2⁎ sont des polytopes canoniques.