Higher dimensional Frobenius problem and Lipschitz equivalence of Cantor sets

The higher dimensional Frobenius problem was introduced by a preceding paper [Fan et al. (2015) [8]].In this paper, we investigate the Lipschitz equivalence of dust-like self-similar sets in RdRd. For any self-similar set, we associate with it a higher dimensional Frobenius problem, and we show that the directional growth function of the associate higher dimensional Frobenius problem is a Lipschitz invariant.As an application, we solve the Lipschitz equivalence problem when two dust-like self-similar sets E and F have coplanar ratios, by showing that they are Lipschitz equivalent if and only if the contraction vector of the p-th iteration of E is a permutation of that of the q-th iteration of F   for some p,q≥1p,q≥1. This partially answers a question raised by Falconer and Marsh (1992) [7].

RésuméLe problème de Frobenius en grande dimension a été introduit dans un précédent article [Fan et al. (2015) [8]].Dans cet article on étudie l'équivalence lipschitzienne d'ensembles auto-similaires très finement dispersés de RdRd. A chaque ensemble auto-similaire on associe un problème de Frobenius de grande dimension et on montre que la fonction de croissance directionnelle du problème de Frobenius en grande dimension associé est un invariant Lipschitz.Comme application on résout le problème de l'équivalence lipschitzienne lorsque deux ensembles auto-similaires très finement dispersés E et F ont des rapports coplanaires, pour ce faire on montre qu'ils sont lipschitziens équivalents si et seulement si le vecteur de contraction de la p-ième itération de E est une permutation de la q-ième de F   pour certaines valeurs p,q≥1p,q≥1. Ce résultat répond partiellement à une question posée par Falconer et Marsh (1992) [7].