A global approach to the Schrödinger–Poisson system: An existence result in the case of infinitely many states

In this paper we prove the existence of a solution to a nonlinear Schrödinger–Poisson eigenvalue problem in dimension N≤6N≤6. Our proof is based on a global approach to the determination of eigenvalues and eigenfunctions which allows us to characterize the complete sequence of eigenfunctions at once, via a variational approach, and thus differs from the usual and less general proofs developed for similar problems in the literature. Our method seems to be new for the determination of the spectrum and eigenfunctions for compact and self-adjoint operators, even in a finite dimensional setting.

RésuméDans cet article on demontre l'existence d'une solution au problème aux valeurs propres non linéaire de Schrödinger–Poisson en dimension N≤6N≤6. La démonstration utilise une approche globale de détermination des valeurs propres et fonctions propres, approche qui permet de caractériser l'ensemble des fonctions propres comme point critique d'une seule fonctionnelle. Cette approche est différente de celle utilisée jusqu'ici dans la littérature pour des problèmes analogues, et semble nouvelle pour la détermination des vecteurs propres d'un opérateur auto-adjoint, même en dimension finie.