Some geometry of convex bodies in C(K)C(K) spaces

We deal with some problems related to vector addition and diametric completion procedures of convex bodies in C(K)C(K) spaces. We prove that each of the following properties of convex bodies in C(K)C(K) characterizes the underlying compact Hausdorff space K   as a Stonean space: (i) C(K)C(K) has a generating unit ball; (ii) all Maehara sets in C(K)C(K) are complete; (iii) the set DdDd of all complete sets of diameter d   in C(K)C(K) is convex. In contrast to these results, we further show the following for all C(K)C(K) spaces: (a) a weaker version of the generating unit ball property is satisfied; (b) there is a Maehara-like completion procedure; (c) DdDd is starshaped with respect to any ball of radius d/2d/2. The proofs are based on a systematic investigation of generalized order intervals and intersections of balls, which is carried out in the first part of the paper, and of diametrically complete sets. Furthermore, a new characterization of spaces ℓ∞n among all n-dimensional real normed spaces, in terms of the Minkowski addition of intersections of translates of the unit ball, is provided.

RésuméDans cet article on considére certains problèmes liés à l'addition de Minkowski et aux procédures de complétion diamétrale de corps convexes dans les espaces C(K)C(K). On montre que chacune des propriétés suivantes des corps convexes de C(K)C(K) caractérise le fait que l'espace d'Hausdorff compact K   est stonien : (i) C(K)C(K) a une boule unité génératrice ; (ii) tous les ensembles de Maehara dans C(K)C(K) sont complets ; (iii) l'ensemble DdDd de tous les ensembles complets de diamètre d   dans C(K)C(K) est convexe. Contrairement à ces résultats, on montre ce qui suit pour tous les espaces C(K)C(K) : (a) une version faible du fait que la boule unité est génératrice ; (b) il existe une procédure de completion analogue à celle des ensembles de Maehara ; (c) DdDd est étoilé par rapport à toute boule de rayon d/2d/2. Les démonstrations sont fondées sur une étude systématique des intervalles d'ordre généralisée et des intersections de boules, qui est réalisée dans la première partie de l'article, et d'ensembles diamétralement complets. En outre, une nouvelle caractérisation des espaces ℓ∞n parmi tous les espaces normés réel de dimension n, en termes de l'addition de Minkowski d'intersections de translatés de la boule unité, est présentée.