Fundamental solution and long time behavior of the Porous Medium Equation in hyperbolic space

We construct the fundamental solution of the Porous Medium Equation posed in the hyperbolic space HnHn and describe its asymptotic behavior as t→∞t→∞. We also show that it describes the long time behavior of integrable nonnegative solutions, and very accurately if the solutions are also radial and compactly supported. By radial we mean functions depending on the space variable only through the geodesic distance r   from a given point O∈HnO∈Hn. We show that the location of the free boundary of compactly supported solutions grows logarithmically for large times, in contrast with the well-known power-like growth of the PME in the Euclidean space. Very slow propagation at long distances is a feature of porous medium flow in hyperbolic space. We also present a non-uniqueness example for the Cauchy Problem based on the construction of an exact generalized traveling wave solution that originates from one point of the infinite horizon. This explicit solutions gives a clue to the asymptotic properties of the fundamental solutions.

RésuméOn construit la solution fondamentale de l'équation des milieux poreux posée dans l'espace hyperbolique HnHn et on décrit son comportement asymptotique quand t→∞t→∞. On montre également que cette solution spéciale décrit le comportement sur le long terme de toutes les solutions à données intégrables et non négatives, et très précisément si les solutions sont aussi radiales et à support compact. Par radiale on entend des fonctions qui dépendent de la variable d'espace via la distance géodésique mesurée à partir d'un point donné O∈HnO∈Hn.De plus, on montre que la frontière libre des solutions à support compact est située à une distance logarithmique pour les grands temps, contrairement à la propriété de croissance de type puissance en temps qui est bien connue pour la PME dans l'espace euclidien. On établit que la propagation très lente pour de longues distances est une caractéristique du flux de type milieux poreux dans l'espace hyperbolique.On présente également un exemple de non-unicité pour le problème de Cauchy basé sur la construction d'une solution exacte du type onde progressive généralisée, qui a pour origine un point de l'horizon infini. Cette solution exacte aide à expliquer les propriétés asymptotiques des solutions fondamentales.