Riemannian aspects of potential theory

In this paper we provide a new method for establishing the rotational symmetry of the solutions to a couple of very classical overdetermined problems arising in potential theory, in both the exterior and the interior punctured domain. Thanks to a conformal reformulation of the problems, we obtain Riemannian manifolds with zero Weyl tensor satisfying a quasi-Einstein type equation. Exploiting these geometric properties, we conclude via a splitting argument that the manifolds obtained are half cylinders. In turn, the rotational symmetry of the potential is implied. To the authors' knowledge, some of the overdetermining conditions considered here are new.

RésuméDans cet article on présente une nouvelle méthode pour établir la symétrie radiale des solutions de deux problèmes surdeterminés issus de la théorie du potentiel, soit dans un domaine extérieur soit dans un domain borné et privé d'un point. Grâce à un changement conforme de la métrique, on donne une nouvelle formulation des problèmes en termes de métriques quasi-einsteiniennes avec tenseur de Weyl nul. En utilisant les propriétés géométriques de ces variétés riemanniennes ainsi qu'un principe de factorisation, on arrive à démontrer que les métriques obtenues sont cylindriques, ce qui implique la symétrie radiale du potentiel. On souligne le fait que certaines conditions surdéterminantes analysées ici n'avaient pas été considérées dans la littérature.