The polyharmonic Dirichlet problem and path counting

This article provides a solution to the m  -fold Laplace equation in the half-space R+d under certain Dirichlet conditions. The solution we present is a series of m boundary layer potentials. We give explicit formulas for these layer potentials as linear combinations of powers of the Laplacian applied to the Dirichlet data, with coefficients determined by certain path counting problems.

RésuméCet article fournit une solution à l'équation du m  -laplacien dans le demi-espace R+d, sous certaines conditions de Dirichlet. La solution se présente sous forme d'une série de m potentiels de couches. On propose des formules explicites pour ces potentiels sous forme de combinaisons linéaires de puissances du laplacien, appliqués aux données de Dirichlet, dont les coefficients sont déterminés à l'aide du problème de dénombrement de chemins dans certains graphes orientés.