On the controllability of the relativistic Vlasov–Maxwell system

In this paper, we study the controllability of the two-dimensional relativistic Vlasov–Maxwell system in a torus, by means of an interior control. We give two types of results. With the geometric control condition on the control set, we prove the local exact controllability of the system in large time. Our proof in this case is based on the return method, on some results on the control of the Maxwell equations, and on a suitable approximation scheme to solve the non-linear Vlasov–Maxwell system on the torus with an absorption procedure.Without geometric control condition, but assuming that a strip of the torus is contained in the control set and under certain additional conditions on the initial data, we establish a controllability result on the distribution function only, also in large time. Here, we need some additional arguments based on the asymptotics of the Vlasov–Maxwell system with large speed of light and on our previous results concerning the controllability of the Vlasov–Poisson system with an external magnetic field [14].

RésuméDans cet article on étudie la contrôlabilité du système de Vlasov–Maxwell relativiste bidimensionnel dans un tore, au moyen d'un contrôle interne localisé selon la variable d'espace. On donne deux types de resultats. Sous la condition classique de contrôle géometrique sur la zone de contrôle, on démontre la contrôlabilité locale exacte du système en temps suffisamment grand. La démonstration dans ce cas se fonde sur la méthode du retour, sur des résultats sur le contrôle de l'équation de Maxwell, et sur un schéma d'approximation adéquat pour résoudre le système de Vlasov–Maxwell non linéaire sur le tore avec une procédure d'absorption.Sans la condition de contrôle géometrique sur la zone de contrôle, mais en supposant que celle-ci contient une bande du tore, et sous certaines hypothèses supplémentaires sur la donnée initiale, on établit un résultat de contrôlabilité sur la fonction de distribution seule, également en grand temps. On a besoin ici d'arguments additionnels reposant sur l'asymptotique du système de Vlasov–Maxwell lorsque la vitesse de la lumière est grande, et sur nos résultats précédents concernant la contrôlabilité du système de Vlasov–Poisson avec un champ magnétique externe [14].