Bubbling solutions for supercritical problems on manifolds

Let (M,g)(M,g) be an n-dimensional compact Riemannian manifold without boundary and Γ   be a non-degenerate closed geodesic of (M,g)(M,g). We prove that the supercritical problem−Δgu+hu=un+1n−3±ϵ,u>0, in (M,g) has a solution that concentrates along Γ as ϵ goes to zero, provided the function h and the sectional curvatures along Γ satisfy a suitable condition. A connection with the solution of a class of periodic Ordinary Differential Equations with singularity of attractive or repulsive type is established.

RésuméSoit (M,g)(M,g) une variété riemannienne compacte sans bord, de dimension n, et Γ   une géodésique fermée, non dégénérée de (M,g)(M,g). On démontre que le problème elliptique supercritique−Δgu+hu=un+1n−3±ϵ,u>0, dans (M,g) admet une solution qui se concentre le long de Γ lorsque le paramètre ϵ tend vers zéro, à condition que la fonction h et les courbures sectionnelles de M le long de Γ satisfassent une certaine condition appropriée. On établit également un lien avec des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles ordinaires périodiques avec singularité de type attractif ou répulsif.