Spreading estimates for quantum walks on the integer lattice via power-law bounds on transfer matrices

We discuss spreading estimates for dynamical systems given by the iteration of an extended CMV matrix. Using a connection due to Cantero–Grünbaum–Moral–Velázquez, this enables us to study spreading rates for quantum walks in one spatial dimension. We prove several general results which establish quantitative upper and lower bounds on the spreading of a quantum walk in terms of estimates on a pair of associated matrix cocycles. To demonstrate the power and utility of these methods, we apply them to several concrete cases of interest. In the case where the coins are distributed according to an element of the Fibonacci subshift, we are able to rather completely describe the dynamics in a particular asymptotic regime. As a pleasant consequence, this supplies the first concrete example of a quantum walk with anomalous transport, to the best of our knowledge. We also prove ballistic transport for a quantum walk whose coins are periodically distributed.

RésuméOn discute des estimations de diffusion pour des systèmes dynamiques donnés par itération d'une matrice CMV étendue. L'utilisation d'une connection due à Cantero–Grünbaum–Moral–Velázquez nous permet d'étudier les taux de diffusion pour des marches quantiques à une dimension d'espace. On démontre plusieurs résultats généraux qui établissent quantitativement des bornes supérieures et inférieures de la diffusion d'une marche quantique en termes d'estimations d'un couple de matrices cocycliques associées. Pour illustrer les possibilités et l'utilité de ces méthodes, on les applique à plusieurs cas intéressants. Dans un cas où des pièces sont distribuées selon un élément sous décalé de Fibonacci, on peut décrire assez complètement la dynamique dans un régime asymptotique particulier. En conséquence, à notre connaissance, cela nous donne le premier exemple concret de marche quantique avec transport anormal. On démontre aussi le transport balistique d'une marche quantique dont les pièces sont distribuées périodiquement.