Large time behavior for some nonlinear degenerate parabolic equations

We study the asymptotic behavior of Lipschitz continuous solutions of nonlinear degenerate parabolic equations in the periodic setting. Our results apply to a large class of Hamilton–Jacobi–Bellman equations. Defining Σ as the set where the diffusion vanishes, i.e., where the equation is totally degenerate, we obtain the convergence when the equation is uniformly parabolic outside Σ and, on Σ, the Hamiltonian is either strictly convex or satisfies an assumption similar of the one introduced by Barles–Souganidis (2000) for first-order Hamilton–Jacobi equations. This latter assumption allows to deal with equations with nonconvex Hamiltonians. We can also release the uniform parabolic requirement outside Σ. As a consequence, we prove the convergence of some everywhere degenerate second-order equations.

RésuméOn étudie le comportement asymptotique des solutions lipschitziennes d'équations nonlinéaires dégénérées dans le cadre périodique. Les résultats s'appliquent à une large classe d'équations de Hamilton–Jacobi–Bellman. Soit Σ l'ensemble où la diffusion s'annule, c'est-à-dire l'ensemble où l'équation est totalement dégénérée. On obtient la convergence en temps long dans le cas où l'équation est uniformément parabolique hors de Σ et satisfait à des hypothèses de type Hamilton–Jacobi du premier ordre sur Σ, plus précisément lorsque le hamiltonien est strictement convexe sur Σ ou vérifie une hypothèse similaire à celle introduite par Barles–Souganidis (2000). Cette dernière hypothèse permet de traiter des cas nonconvexes. On arrive aussi à affaiblir l'hypothèse d'uniforme parabolicité hors de Σ ce qui permet de démontrer la convergence pour certaines équations du second ordre partout dégénérées.