Small time global null controllability for a viscous Burgers' equation despite the presence of a boundary layer

In this work, we are interested in the small time global null controllability for the viscous Burgers' equation yt−yxx+yyx=u(t)yt−yxx+yyx=u(t) on the line segment [0,1][0,1]. The right-hand side is a scalar control playing a role similar to that of a pressure. We set y(t,1)=0y(t,1)=0 and restrict ourselves to using only two controls (namely the interior one u(t)u(t) and the boundary one y(t,0)y(t,0)). In this setting, we show that small time global null controllability still holds by taking advantage of both hyperbolic and parabolic behaviors of our system. We use the Cole–Hopf transform and Fourier series to derive precise estimates for the creation and the dissipation of a boundary layer.

RésuméOn étudie la contrôlabilité globale en temps petit de l'équation de Burgers visqueuse : yt−yxx+yyx=u(t)yt−yxx+yyx=u(t) sur le segment [0,1][0,1]. Le second membre est un contrôle scalaire qui joue un rôle analogue à celui d'une pression. On fixe y(t,1)=0y(t,1)=0 et on n'utilise que deux contrôles seulement (le contrôle intérieur u(t)u(t) et le contrôle frontière y(t,0)y(t,0)). Dans ce cadre, on démontre que la contrôlabilité globale en temps petit reste vraie en utilisant les comportements hyperbolique et parabolique du système. On a recours à la transformation de Hopf–Cole ainsi qu'aux séries de Fourier pour établir des estimations précises de la création et de la dissipation de la couche limite.