Global solutions to 2-D inhomogeneous Navier–Stokes system with general velocity

In this paper, we are concerned with the global wellposedness of 2-D density-dependent incompressible Navier–Stokes equations (1.1) with variable viscosity, in a critical functional framework which is invariant by the scaling of the equations and under a nonlinear smallness condition on fluctuation of the initial density which has to be doubly exponential small compared with the size of the initial velocity. In the second part of the paper, we apply our methods combined with the techniques in Danchin and Mucha (2012) [10], to prove the global existence of solutions to (1.1) with constant viscosity and with piecewise constant initial density which has small jump at the interface and is away from vacuum. In particular, this latter result removes the smallness condition for the initial velocity in a corresponding theorem of Danchin and Mucha (2012) [10].

RésuméDans cet article, on étudie lʼexistence globale des solutions pour le système de Navier–Stokes inhomogène, incompressible et avec viscosité variable, en dimension deux dʼespace. On montre que le système est globalement bien-posé, pour des données initiales invariantes par changement dʼéchelles qui vérifient une condition non linéaire de petitesse, la fluctuation de la densité doit être doublement exponentiellement petite par rapport à la norme de la vitesse. Dans la deuxiéme partie, on utilise nos méthodes combinées avec les techniques de Danchin and Mucha (2012) [10], pour montrer lʼexistence globale des solutions du système Navier–Stokes avec densité constante par morceaux, loin du vide et avec une condition de petitesse sur le saut le long du bord. En particulier, on obtient notre résultat sans la condition de petitesse de la vitesse qui apparaît dans Danchin et Mucha (2012) [10].