Spectral and phase space analysis of the linearized non-cutoff Kac collision operator

The non-cutoff Kac operator is a kinetic model for the non-cutoff radially symmetric Boltzmann operator. For Maxwellian molecules, the linearization of the non-cutoff Kac operator around a Maxwellian distribution is shown to be a function of the harmonic oscillator, to be diagonal in the Hermite basis and to be essentially a fractional power of the harmonic oscillator. This linearized operator is a pseudodifferential operator, and we provide a complete asymptotic expansion for its symbol in a class enjoying a nice symbolic calculus. Related results for the linearized non-cutoff radially symmetric Boltzmann operator are also proven.

RésuméLʼopérateur de Kac est un modèle cinétique pour lʼopérateur de Boltzmann agissant sur des densités radiales en la variable de vitesse. Dans le cas de molécules maxwelliennes, on montre que la linéarisation de lʼopérateur de Kac sans troncature angulaire autour de lʼéquilibre donné par la distribution maxwellienne est une fonction de lʼoscillateur harmonique, diagonale dans la base de Hermite, qui est essentiellement égale à une puissance fractionnaire de lʼoscillateur harmonique. Cet opérateur linéarisé est un opérateur pseudo-différentiel dont on donne un développement asymptotique complet dans une classe de symboles jouissant de bonnes propriétés de calcul symbolique. Des résultats correspondants pour lʼopérateur de Boltzmann à symétrie radiale et sans troncature angulaire sont également donnés.