An upper gradient approach to weakly differentiable cochains

The aim of the present paper is to define a notion of weakly differentiable cochain in the generality of metric measure spaces and to study basic properties of such cochains. Our cochains are (sub)additive functionals on a subspace of chains, and a suitable notion of chains in metric spaces is given by Ambrosio–Kirchheimʼs theory of metric currents. The notion of weak differentiability we introduce is in analogy with Heinonen–Koskelaʼs concept of upper gradients of functions. In one of the main results of our paper, we prove continuity estimates for cochains with p-integrable upper gradient in n-dimensional Lie groups endowed with a left-invariant Finsler metric. Our result generalizes the well-known Morrey–Sobolev inequality for Sobolev functions. Finally, we prove several results relating capacity and modulus to Hausdorff dimension.

RésuméOn propose une définition de cochaine faiblement différentiable dans un espace métrique mesuré et on étudie ses propriétés. Dans cet article, une cochaine est une fonction (sous-)additive définie sur un sous-espace de lʼespace des courants métriques au sens de Ambrosio–Kirchheim. La notion de différentiabilité faible introduite est analogue au concept de gradient supérieur dʼune fonction introduit par Heinonen–Koskela. Un des résultats essentiels de cet article établit la continuité dʼune cochaine avec gradient supérieur p-intégrable dans un groupe de Lie muni dʼune métrique finslérienne invariante à gauche. Ce résultat généralise lʼinégalité de Morrey–Sobolev pour des fonctions dʼun espace de Sobolev. De plus, on établit des résultats qui relient la capacité et le module à la dimension de Hausdorff.