Convergence rates for dispersive approximation schemes to nonlinear Schrödinger equations

This article is devoted to the analysis of the convergence rates of several numerical approximation schemes for linear and nonlinear Schrödinger equations on the real line. Recently, the authors have introduced viscous and two-grid numerical approximation schemes that mimic at the discrete level the so-called Strichartz dispersive estimates of the continuous Schrödinger equation. This allows to guarantee the convergence of numerical approximations for initial data in L2(R), a fact that cannot be proved in the nonlinear setting for standard conservative schemes unless more regularity of the initial data is assumed. In the present article we obtain explicit convergence rates and prove that dispersive schemes fulfilling the Strichartz estimates are better behaved for Hs(R) data if 0

RésuméCet article concerne lʼanalyse de la vitesse de convergence de plusieurs schémas dʼapproximation numérique pour lʼéquation de Schrödinger linéaire et non-linéaire en 1-d. Récemment, les auteurs ont introduit des schémas dʼapproximation numérique visqueux et bi-maille qui satisfont, au niveau de la discrétisation, des estimations dispersives analogues aux estimations de Strichartz pour lʼéquation de Schrödinger continue. Ceci permet de garantir la convergence des approximations numériques pour des données initiales dans L2(R), ce qui ne peut pas être montré dans le cadre non-linéaire pour des schémas conservatifs standard, sauf si les données initiales sont plus régulières. On établit aussi les vitesses explicites de convergence et on montre que les schémas dispersifs satisfaisant les estimations de Strichartz ont un meilleur comportement pour des données dans Hs(R), si 0