Abelian varieties and theta functions associated to compact Riemannian manifolds; constructions inspired by superstring theory

We first investigate a construction of principally polarized abelian varieties attached to certain spin manifolds, due to Witten and Moore and Witten around 2000. The index theorem for the Dirac operator associated to the spin structure implies integrality of a natural skew pairing on the topological K-group. The latter serves as a principal polarization.We place the construction in a broader framework, relate it to Weilʼs intermediate Jacobian and point out how it leads to abelian varieties canonically associated to polarized even weight Hodge structures. The latter construction can also be explained in terms of algebraic groups which might be useful from the point of view of Tannakian categories.The constructions depend on moduli much as in Teichmüller theory although the period maps in general are only real analytic.

RésuméOn détaille une construction due à Witten et Moore–Witten (qui date dʼenviron 2000) dʼune variété abélienne principalement polarisée associée à une variété de spin. Le théorème de lʼindice pour lʼopérateur de Dirac (associé à la structure de spin) implique quʼun accouplement naturel sur le K-groupe topologique prend des valeurs entières. Cet accouplement sert de polarization principale sur le tôre associé.On place la construction dans un cadre général ce qui la relie à la jacobienne de Weil mais qui suggère aussi la construction dʼune jacobienne associée à nʼimporte quelle structure de Hodge polarisée et de poids pair. Cette dernière construction est ensuite expliquée en termes de groupes algébriques, utile du point de vue des catégories Tannakiennes.Notre construction dépend de paramètres, comme dans la théorie de Teichmüller, mais en général lʼapplication de périodes est seulement de nature analytique réelle.