Explicit subsolutions and a Liouville theorem for fully nonlinear uniformly elliptic inequalities in halfspaces

We prove a Liouville type theorem for arbitrarily growing positive viscosity supersolutions of fully nonlinear uniformly elliptic equations in halfspaces. Precisely, let be the Pucciʼs inf-operator with ellipticity constants Λ⩾λ>0. We prove that the inequality does not have any positive viscosity solution in a halfspace provided that , whereas positive solutions do exist if either p<−1 or . The proof relies on the construction of explicit subsolutions of the homogeneous equation and on a nonlinear version in a halfspace of the classical Hadamard three-circles theorem for entire superharmonic functions.

RésuméOn démontre un théorème de type Liouville dans un demi-espace pour des sursolutions de viscosité avec croissance arbitraire dʼéquations complètement non linéaires uniformément elliptiques. Précisément, soit lʼopérateur inf-extrémal de Pucci avec constantes dʼellipticité Λ⩾λ>0. On montre que lʼinégalité nʼa pas de solutions de viscosité positives dans un demi-espace si , tandis quʼil existe des solutions positives si p<−1 ou si . Les demonstrations utilisent la construction de sous-solutions explicites de lʼéquation homogéne et une version non linéaire du théorème des trois-cercles de Hadamard pour les functions surharmoniques.