On the boundedness of multilinear Littlewood–Paley gλ⁎ function

Let n⩾2n⩾2 and gλ⁎ be the multilinear type operator defined bygλ⁎(f→)(x)=(∫∫R+n+1(tt+|x−z|)nλ|Gt(f→)(z)|2tn+1dzdt)1/2, where the function K   is a multilinear kernel defined on (Rn)m(Rn)m and Gt(f→)(z)=1tmn∫(Rn)mK(z−y1t,…,z−ymt)∏i=1mfi(yi)dyi. We show that, if λ>2mλ>2m, then the operator gλ⁎ is bounded from L1×⋯×L1L1×⋯×L1 to L1m,∞. Strong weighted estimates Lp1(w1)×⋯×Lpm(wm)→Lp(νw→) if each pi>1pi>1 and weighted weak type Lp1(ω1)×⋯×Lpm(ωm)→Lp,∞(νω→) estimates if there is a pi=1pi=1 are obtained, where νω→=∏i=1mωip/pi and each wiwi(i=1,…,m)(i=1,…,m) is a nonnegative function on RnRn. This is done by exploiting the well-known boundedness of Marcinkiewicz function, a more explicit decomposition of the operator and the method of rotation.

RésuméSoit n⩾2n⩾2 et gλ⁎ un opérateur multilinéaire défini pargλ⁎(f→)(x)=(∫∫R+n+1(tt+|x−z|)nλ|Gt(f→)(z)|2tn+1dzdt)1/2, où la fonction K   est un noyau multilinéaire défini sur (Rn)m(Rn)m et Gt(f→)(z)=1tmn∫(Rn)mK(z−y1t,…,z−ymt)∏i=1mfi(yi)dyi. Pour λ>2mλ>2m, on montre que l'opérateur gλ⁎ est borné de L1×⋯×L1L1×⋯×L1 dans L1m,∞. On obtient des estimations pondérées fortes type Lp1(w1)×⋯×Lpm(wm)→Lp(νw→) pour chaque pi>1pi>1 et des estimations pondéré faible de type Lp1(ω1)×⋯×Lpm(ωm)→Lp,∞(νω→) s'il existe une pi=1pi=1, où νω→=∏i=1mωip/pi et chaque wiwi(i=1,…,m)(i=1,…,m) est une fonction non négative sur RnRn. La démonstration utilise la borne connue pour la fonction de Marcinkiewicz, la décomposition plus précise de l'opérateur et la méthode de rotation.