Global Lipschitz regularizing effects for linear and nonlinear parabolic equations

In this paper we prove global bounds on the spatial gradient of viscosity solutions to second order linear and nonlinear parabolic equations in (0,T)×RN. Our assumptions include the case that the coefficients be both unbounded and with very mild local regularity (possibly weaker than the Dini continuity), the estimates only depending on the parabolicity constant and on the modulus of continuity of coefficients (but not on their L∞-norm). Our proof provides the analytic counterpart to the probabilistic proof used in Priola and Wang (2006) [35] (J. Funct. Anal. 2006) to get this type of gradient estimates in the linear case. We actually extend such estimates to the case of possibly unbounded data and solutions as well as to the case of nonlinear operators including Bellman–Isaacs equations. We investigate both the classical regularizing effect (at time t>0) and the possible conservation of Lipschitz regularity from t=0, and similarly we prove global Hölder estimates under weaker assumptions on the coefficients. The estimates we prove for unbounded data and solutions seem to be new even in the classical case of linear equations with bounded and Hölder continuous coefficients. Applications to Liouville type theorems are also given in the paper. Finally, we compare in an appendix the analytic and the probabilistic approach discussing the analogy between the doubling variables method of viscosity solutions and the probabilistic coupling method.

RésuméDans cet article on établit des estimations lipschitziennes (en espace), globales pour des solutions de viscosité dʼéquations paraboliques linéaires et non linéaires sur (0,T)×RN, relatives à lʼeffet régularisant (au temps t>0) soit la conservation éventuelle de la régularité lipschitzienne de la donnée initiale. La particuliarîté de nos conditions est que les coefficients peuvent être non bornés et quʼils vérifient des hypothèses de continuité assez générales, les estimations dépendant seulement de la constante dʼellipticité et du module de continuité des coefficients mais non de leur borne L∞. Ces résultats donnent une extension des résultats obtenus par Priola et Wang (2006) [35] (J. Funct. Anal. 2006) dans le cas linéaire, utilisant des méthodes probabilistes on donne aussi une preuve entièrement analytique des résultats et également plusieurs extensions en considérant des données non bornées, le cas des estimations Hölder (plutôt que Lipschitz) pour des coefficients moins réguliérs, et surtout pour des opérateurs non linéaires qui incluent le modèle de type Bellman–Isaacs. On donne aussi une application de nos estimations pour lʼobtention de théorèmes de type Liouville. Finalement, dans lʼappendice, on compare les deux méthodes, probabiliste et analytique, en discutant les analogies entre la méthode de couplage probabiliste et la méthode de dédoublement des variables pour les solutions de viscosité, méthodes qui ont été utilisées indépendamment pour ce type dʼestimations dans les deux cas.